Conjuntos

CONCEITO

Neste exato momento, você deve estar se perguntando: A final de contas, o que é um conjunto? Você pode tentar responder esta pergunta de várias formas: “Um conjunto é uma coleção de coisas” ou ainda “Um conjunto é uma reunião de objetos”. Mas posso te perguntar: o que é uma coleção? O que é uma reunião de objetos? Repare que inevitavelmente você vai acabar voltando para a palavra “conjuntos”. Reparou como fica difícil definir o que é um conjunto? A verdade é que conjunto é o que chamamos de conceito primitivo, algo que aceitamos sem definição, por se tratar de uma noção familiar ao nosso cotidiano. No mais, você não precisa se preocupar com isso. Vamos então aos nossos conceitos, que serão fundamentais para o bom entendimento deste capítulo.

ELEMENTO E CONJUNTO

Conceitos primitivos, não definidos, contudo são abstraídos pela noção familiar ao nosso cotidiano. Se um elemento x pertence ao conjunto A, dizemos que x ∈ A. Caso ele não pertença, escrevemos que x ∉ A.

DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO

Os conjuntos podem ser descritos, essencialmente, de duas maneiras:

• Apresentação dos elementos: neste caso, os elementos do conjunto estão dentro das duas chaves mais exteriores.

Veja o exemplo a seguir:

Exemplo: o conjunto {1,{1},2, bola} possui 4 elementos, que são: o número 1, o conjunto {1}, o número 2 e o objeto bola.

• Propriedade: os elementos do conjunto são descritos por meio de uma propriedade que os satisfaçam. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo: A = {x | x é um número par positivo com apenas um algarismo}. Tal conjunto, quando escrito na forma de
apresentação entre chaves, seria A = {2, 4, 6, 8}.

CONJUNTO VAZIO

O conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representamos o conjunto vazio de duas maneiras: ∅ ou { }.
Exemplo: O conjunto {x ∈ N | 2014 < x < 2015} é vazio, pois não existe nenhum número natural maior do que 2014 e menor do que 2015.

CONJUNTO UNITÁRIO

O conjunto unitário é aquele que possui apenas um elemento. Exemplos: A = {bibico}, B = {x ∈ N | 2014 < x < 2016} são ambos conjuntos unitários. O único elemento de A é o objeto bibico e o único elemento de B é o número 2015, pois é o único natural maior do que 2014 e menor do que 2016.

CONJUNTO UNIVERSO

É um conjunto que contém todos os elementos do contexto envolvido e também todos os conjuntos desse contexto. Por exemplo, se estivermos em um problema que envolva conjuntos de números inteiros,um possível conjunto universo é Z (conjunto dos inteiros). Poderíamos escolher também para conjunto universo Q (conjunto dos racionais). Em geral, usa-se a letra U para representar o conjunto universo.

SUBCONJUNTO

Este é um conceito importantíssimo! Ao final deste conceito, faremos um exercício resolvido para fixar as ideias até aqui aprendidas. Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B quando todos os elementos de A forem também elementos de B. Assim, para verificar se A é subconjunto de B, basta olhar para cada elemento de A e ver se
ele também está em B. Se isso acontecer para todos os elementos deA, A será um subconjunto de B.

Fique atento à seguinte notação: quando A é subconjunto de B, escrevemos que A ⊂ B (lemos isso como A está contido em B). Também poderíamos dizer que B ⊃ A (lemos como B contém A). Finalmente,se A não é subconjunto de B, usamos ⊄ (não está contido) ou ⊅ (não contém). Vejamos dois exemplos:

Exemplos:
{1,2} ⊂ {1,2,4,7,8}, pois 1 e 2 são elementos de {1,2,4,7,8}.
{1,7} ⊄ {2,6,7}, pois 1 não é elemento de {2, 6, 7}.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos de B e vice-versa.

Exemplo:

O conjunto A = {x | x é um número par positivo com apenas um algarismo} e B = {2, 4, 6, 8} são iguais, pois possuem exatamente os mesmos elementos.

Dado um conjunto, a ordem em que apresentamos seus elementos não tem importância. Assim, os conjuntos {2, 5, 7}
e {5, 7, 2} são iguais por possuírem exatamente os mesmos elementos.

CONJUNTO DAS PARTES

(CONJUNTO POTÊNCIA)

Para um dado conjunto A, o conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Representamos o conjunto das partes por P(A), sendo a primeira notação a mais frequente. Para
ajudar na compreensão, vejamos um exemplo:

De fato, temos o seguinte teorema:

TEOREMA: Se um conjunto A possui n elementos, A possui 2n subconjuntos, ou seja, o conjunto das partes possui 2n
elementos.

DIAGRAMAS DE VENN

Em 1880, John Venn, um matemático inglês, teve uma grande ideia para trabalhar com 2 ou 3 conjuntos de maneira mais clara:

ele representou todas as possíveis relações entre conjuntos usando círculos, de forma que cada círculo representa um conjunto. As guras tradicionais que utilizamos são:

9 CONJUNTOS

ProBizu

Os diagramas de Venn são muito úteis para resolver problemas de conjuntos, pois ajudam a organizar os dados do problema de forma bastante clara.

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS UNIÃO

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos. Em termos matemáticos, a união é dada por:

A união é representada em diagramas de Venn pela região pintada a seguir:

Exemplo:
A = {1, 2, 2015}
B = {1, 3, 2016}
Para encontrar A ∪ B, devemos olhar para os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos:

1 está em ambos os conjuntos (logo entrará na união).
2 está no conjunto A (logo entrará na união).
3 está no conjunto B (logo entrará na união).
2015 está no conjunto A (logo entrará na união).
2016 está no conjunto B (logo entrará na união).
Desta forma, temos que

INTERSEÇÃO

A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B simultaneamente. Representamos matematicamente a interseção por:

Para um elemento estar na interseção de dois ou mais conjuntos, ele deve pertencer a TODOS os conjuntos.
A interseção é representada em diagramas de Venn pela região pintada a seguir:

Exemplo:
A = {1,3,5,8}
B = {2,3,8,9}
Para encontrar A ∩ B, devemos olhar para os elementos que estão nos dois conjuntos:

1 está em A, mas não está em B (não entra na interseção)
2 está em B, mas não está em A (não entra na interseção)
3 está em A e em B (entra na interseção)
5 está em A, mas não está em B (não entra na interseção)
8 está em A e em B (entra na interseção)
9 está em B, mas não está em A (não entra na interseção)
Assim, temos que A ∩ B = {3,8}.

Observação
Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos se sua interseção é vazia, isto é, quando A ∩ B = ∅. Por exemplo, o conjunto dos números pares é disjunto do conjunto dos números ímpares, uma vez que nenhum número pode ser par e ímpar simultaneamente.

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS

A diferença entre dois conjuntos A e B é dada pelo conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Matematicamente, escrevemos que:

A – B = {x tal que x ∈ A e x ∉ B}
A diferença é representada em diagramas de Venn pela região pintada a seguir:

Exemplo:

A = {1, 3, 5, 8}
B = {2, 3, 8, 9}
Para encontrar A – B, devemos olhar para os elementos que estão em A, mas não estão em B:
1 está em A, mas não está em B (entra na diferença)
3 está em A e em B (não entra na diferença)
5 está em A, mas não está em B (entra na diferença)
8 está em A e em B (não entra na diferença)9 está em B, mas não está em A (não entra na interseção)
Assim, temos que A ∩ B = {3,8}.

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS

A diferença entre dois conjuntos A e B é dada pelo conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Matematicamente, escrevemos que:

A – B = {x tal que x ∈ A e x ∉ B}
A diferença é representada em diagramas de Venn pela região pintada a seguir:

Exemplo:
A = {1, 3, 5, 8}
B = {2, 3, 8, 9}
Para encontrar A – B, devemos olhar para os elementos que estão em A, mas não estão em B:

1 está em A, mas não está em B (entra na diferença)
3 está em A e em B (não entra na diferença)
5 está em A, mas não está em B (entra na diferença)
8 está em A e em B (não entra na diferença)
Desta forma, concluímos que A – B = {1, 5}.

COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.

Os símbolos utilizados para representar a operação de complementar entre dois conjuntos são: AC, A ou B CA. Pelo fato de a operação de complementar dois conjuntos ser utilizada quando há relação de subconjuntos, é muito comum efetuar a operação complementar em relação ao conjunto universo (U).

DIFERENÇA SIMÉTRICA

A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem à união de A com B, mas não pertencem à interseção. (Para um elemento estar na diferença simétrica, ele deve pertencer a apenas um dos conjuntos). Representamos matematicamente a diferença simétrica entre A e B por:
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)
A diferença simétrica é representada em diagramas de Venn pela região pintada a seguir:

Exemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4, 5}
Para encontrar a diferença simétrica, vamos analisar cada elemento dos conjuntos:

1 pertence a A, mas não pertence a B (entra na diferença simétrica)
2 pertence a A e a B (não entra na diferença simétrica)
3 pertence a A e a B (não entra na diferença simétrica)
4 pertence a B, mas não pertence a A (entra na diferença simétrica)
5 pertence a B, mas não pertence a A (entra na diferença simétrica)

Chegamos ao m da teoria desta aula. Faremos agora mais dois exercícios resolvidos para fixarmos os conceitos aprendidos. Preste bastante atenção nas resoluções! Ao m destes exercícios resolvidos, entraremos numa maratona de exercícios! Tente fazer todos com muito afinco. Para seu melhor aprendizado, estamos disponibilizando as resoluções de todas as questões deste material. Não deixe de olhar as soluções mesmo que tenha conseguido fazer os exercícios. Pode parecer perda de tempo, mas você, na verdade, sempre aprende algo mais!
“A tarefa de viver é dura, mas fascinante”

Ariano Suassuna

Exercício Resolvido
04. Considere os pacientes da AIDS classificados em 3 grupos de risco: hemofílicos, homossexuais e toxicômanos. Num certo país, de 75 pacientes, verificou-se que:

I. 41 são homossexuais
II. 9 são homossexuais e hemofílicos, e não toxicômanos;
III. 7 são homossexuais e toxicômanos, e não hemofílicos;
IV. 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não homossexuais;
V. 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos;
VI. o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são apenas homossexuais;
VII. o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três grupos de risco é a metade do número de pacientes que não pertencem a nenhum dos grupos de risco.
Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos três grupos de risco?
a) 1
b) 2
c) 3

c) 4
c) 5

Resolução: A
Este é mais um problema em que devemos usar a “receita de bolo” fornecida no problema anterior.
Digamos que x é o número de pacientes nos três grupos e que y é o número de pacientes que são apenas homossexuais. Temos três conjuntos e, a partir dos dados, podemos montar um diagrama de Venn usando as informações de (ii) a (vii):

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