PROPOSIÇÃO
Proposição ou Sentença é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta um, e somente um, dos valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F).
Exemplo:
Tautologia (proposição logicamente verdadeira) é a proposição que possui valor V (verdadeira) independente dos valores lógicos das proposições das quais depende.
Exemplo:
A frase “O recém-nascido é menino ou menina” é sempre verdadeira, pois sendo menino teremos “V ou F”, sendo menina teremos “F ou V” e em ambos os casos o resultado é verdadeiro.
Contradição (proposição logicamente falsa) é a proposição que possui valor F (falsa) independente dos valores lógicos das proposições das quais depende.
Exemplo:
A frase “O recém-nascido é menino e menina” é sempre falsa, pois sendo menino teremos “V e F”, sendo menina teremos “F e V” e em ambos os casos o resultado é falso.
Sentenças abertas são proposições cujo valor lógico depende do valor de uma ou mais variáveis.
O conjunto de todos os valores que as variáveis podem assumir denomina-se Universo.
O subconjunto do universo para o qual a sentença aberta é verdadeira denomina-se Conjunto-Verdade ou Conjunto-Solução.
NEGAÇÃO
A negação de uma proposição p é indicada por p (ou –p) e tem sempre valor oposto ao de p.
CONECTIVOS
A conjunção (e), denotada por p ∧ q ou p · q, é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p ∧ q é falsa.
A disjunção (ou), denotada por p ∨ q ou p + q, é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p ∨ q é falsa.
CONDICIONAIS
O condicional, denotado por p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p → q é verdadeiro.
O bicondicional, denotado por p ↔ q é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer p ↔ q é falso.
RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Diz-se que p é equivalente a q (p ⇔ q ou p ≡ q) quando p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico, ou seja, p ↔ q é verdadeiro.
Nesse caso diz-se que “p é condição necessária e suficiente para q” ou que “p se, e somente se, q”.
Na resolução de equações e inequações deve-se atentar para o significado das relações de implicação e equivalência.
Passagens relacionadas por equivalência mantêm exatamente o mesmo conjunto verdade, pois ambas são verdadeiras ou falsas simultaneamente. Já passagens relacionadas por implicação não garantem o mesmo conjunto verdade. Nesse caso, o novo conjunto verdade contém o anterior, devendo-se ter cuidado com a introdução de raízes que não são válidas. Isso ocorre com frequência na resolução de equações irracionais.
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
QUANTIFICADORES
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES (LEIS DE DE MORGAN)
A negação de proposições com conectivos ou condicionais é feita com base nas relações seguintes:
As Leis de De Morgan mostram que:
I. Negar que duas proposições são verdadeiras ao mesmo tempo equivale a afirmar que pelo menos uma delas é falsa.
II. Negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas.
Exemplos:
1. A negação de “Juca é bom e honesto” é “Juca não é bom ou não é honesto”.
2. A negação de “Juca é bom ou honesto” é “Juca não é bom e não é honesto”.
3. A negação de “Se Juca é bom, então é honesto” é “Juca é bom e não é honesto”.
A negação de uma proposição do tipo: “Para todo objeto, com uma certa propriedade, algo acontece” é: “Existe um objeto com a certa propriedade, tal que aquele algo não acontece.”
A negação de uma proposição do tipo: “Existe um objeto, com uma certa propriedade, para o qual algo acontece” é: “Para todo objeto com a certa propriedade, aquele algo não acontece.”
TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA OU REDUÇÃO AO ABSURDO
CONTRAEXEMPLO
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (P.I.F.)
AXIOMAS DE PEANO
MÉTODO DA INDUÇÃO FINITA
(RECORRÊNCIA)
“Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número n daí resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais.”
APLICAÇÃO DO PIF
Passo 1: demonstrar que a afirmação é verdadeira para um caso particular, por exemplo, n = 1 (ou o menor elemento do conjunto); Passo 2: supor que a afirmação é válida para n = k (hipótese de indução);
Passo 3: demonstrar, a partir disto, que a afirmação é válida para n = k + 1.
