Estatística descritiva e probabilidade

CONCEITOS BÁSICOS ESTATÍSTICA

É a ciência que utiliza a coleta de dados, sua classificação, apresentação, análise e interpretação para se tomar algum tipo de decisão.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

É o ramo da Estatística que se ocupa em organizar e descrever os dados que podem ser expressos por tabelas e gráficos.

ESTATÍSTICA INFERENCIAL

É o ramo da Estatística que utiliza técnicas de análise e interpretação de dados, a partir da amostra de uma população, e fornece conclusões sobre este conjunto.

POPULAÇÃO

Na coleta de dados sobre determinado assunto, chama-se população estatística, o conjunto formado por todos os elementos que possam oferecer dados relativos ao assunto em questão.

Podemos dizer que população é qualquer conjunto que reúna todos os elementos que tenham pelo menos uma característica em comum, objeto de estudo.

AMOSTRA

É um subconjunto de uma população. A seleção da amostra pode ser feita de várias maneiras, a depender, entre outros fatores, do grau de conhecimento que temos da população, da quantidade de recursos disponíveis etc. A seleção da amostra deve fornecer um subconjunto de valores mais parecido possível com a população original.

Exemplo:

Uma pesquisa típica de audiência na televisão utiliza uma amostra de 5000 lares e, com base nestes dados, formula conclusões acerca de uma população de todos os milhões de lares no País.

CENSO

É o método utilizado para o trabalho com uma população.

DADOS ESTATÍSTICOS

Os dados são denominados quantitativos quando são representados por números ou medidas como, por exemplo, as alturas de uma população, o número de lhos e o salário bruto. Quando os dados representam contagens, são discretos e, quando representam mensurações, são contínuos.

Os dados são chamados de qualitativos ou nominais quando são definidos por categorias, tais como: cor dos olhos, sexo, nível de escolaridade, naturalidade.

AMPLITUDE DE UMA AMOSTRA

A amplitude total dos dados é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra.

Exemplo:

Um pesquisador, contratado pela empresa de cervejas, deseja estudar quantas cervejas por semana seus clientes bebem. A amostra com 10 clientes resultou nos seguintes números: 2, 3, 7, 1, 10, 11, 5, 2, 8, 9. A amplitude dessa amostra é igual a 11 – 1 = 10.

ROL

Os dados coletados em uma amostra podem ser organizados em tabelas ou gráficos. Para isso, antes, devemos organizá-los em sequências crescentes ou decrescentes denominadas Rol.

Exemplo:

No exemplo anterior, organizando-se em ordem crescente, temos:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11.

DADOS BRUTOS

Podemos considerar como dados brutos, aqueles que não estão numericamente organizados.

Exemplo:

2, 3, 7, 1, 10, 11, 5, 2, 8, 9.

VARIÁVEIS

Outra definição, que aparece na análise de dados estatísticos, é o conceito de variável.

Uma variável é quantitativa quando seus valores podem ser representados por contagem (variáveis quantitativas discretas) ou mensuração (variáveis quantitativas contínuas).

Uma variável é qualitativa quando apresenta como resultado um atributo, qualidade ou preferência de um entrevistado.

SÉRIES ESTATÍSTICAS

Uma série estatística é um conjunto de dados estatísticos que fazem referência aos seguintes fatores: tempo, local e fenômeno.

Os exemplos mais comuns de séries estatísticas são:

• Temporal, Cronológica ou Histórica (varia o Tempo);
• Geográfica, Territorial ou Espacial (varia o local);
• Específica ou Especificativa (varia o Fenômeno).

Elementos essenciais em uma tabela:

1) Título – é a indicação contida na parte superior da tabela, em
que deve estar de nido o fato observado.
2) Corpo – é constituído por linhas e colunas, que fornecem o
conteúdo das informações prestadas.
3) Cabeçalho – é a parte da tabela que apresenta a natureza do
que contém cada coluna.

Há, ainda, os elementos que complementam a tabela, como, por exemplo:

1) Fonte – designação da instituição que forneceu os dados estatísticos.

Exemplo:

Datafolha, IBOPE, IBGE, INPE etc.

2) Notas – esclarecimentos de natureza geral.

TABELAS DE FREQUÊNCIAS

Um processo que possibilita uma leitura mais sucinta dos dados é a construção de uma tabela de frequências.

GRÁFICOS

GRÁFICO EM LINHA

Esse tipo de gráfico é usado, sobretudo, quando temos observações temporais de uma variável em estudo e desejamos representá-la no tempo (abscissa) a m de reconhecer possíveis tendências e/ou sazonalidade (comportamentos periódicos repetidos).

O exemplo a seguir ilustra bem a utilidade do gráfico em linha para a evolução do preço da ação da empresa PETRO S.A.

GRÁFICO EM BARRAS HORIZONTAIS

Os dados que estejam organizados em colunas ou linhas em uma tabela podem ser representados em um gráfico de barras horizontais.

Gráficos de barras ilustram comparações entre itens individuais.

Considere a utilização de um gráfico de barras horizontais quando:

• os rótulos dos eixos forem longos.
• os valores mostrados forem durações.

GRÁFICO DE COLUNAS

A ideia é expressar informações individualizadas e representadas por barras cuja altura representa a frequência nas categorias. Vejamos o exemplo a seguir representando, em barras, o número de cópias de jornais (em milhares de exemplares) em alguns países.

Exemplo:

GRÁFICO EM SETORES

É utilizado quando se deseja mostrar partes do total, conforme ocorre em produções, vendas e orçamentos de países etc.

HISTOGRAMA

Quando as classes são intervalos reais, a interpretação da distribuição de frequências em um sistema de eixos é feita por um tipo de gráfico chamado Histograma.

Exemplo:
Voltando ao exercício resolvido 2:

O histograma referente à tabela é:

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

O polígono de frequência é obtido unindo-se os pontos médios da parte superior de cada retângulo do histograma com segmentos de reta. É importante notar que tanto o histograma quanto o polígono de frequência indicam a frequência absoluta de cada classe.

Voltando ao exercício resolvido 2, temos:

O gráfico, em linhas, representativo de uma distribuição de frequências acumuladas é chamado polígono de frequências acumuladas ou ogiva de Galton. No caso de dados agrupados em intervalos de classe, os pontos do grá co são os pontos correspondentes aos limites superiores das classes das bases superiores dos retângulos.

CARTOGRAMA

Um cartograma é um mapa que mostra informação quantitativa, mantendo um certo grau de precisão geográfica das unidades espaciais mapeadas.

PICTOGRAMA

É comum, em jornais e revistas, ilustrar os vários tipos de gráficos com guras relacionadas ao assunto, tornando-os mais atraentes.

Esses são os pictogramas.

Exemplo:

MEDIDAS DE CENTRALIDADE: MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA, MEDIANA, MODA

Para apresentarmos os conceitos a seguir, vamos considerar um grupo de 10 estudantes com as seguintes idades: 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17.

MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Seja x uma variável quantitativa e x1 , x2 , x3 , …, xn os valores assumidos por essa variável. A média aritmética (x) de x é igual à soma de todos os valores assumidos pela variável dividida pelo número de

PROPRIEDADES DA MÉDIA

1) Ao adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a média aritmética fica adicionada desse valor.

2) Ao multiplicarmos cada um dos valores, assumidos pela variável, por um mesmo valor, a média aritmética ca multiplicada por esse valor.

Seja x uma variável quantitativa, e x1 , x2 , x3 , …, xk os valores assumidos por essa variável, com frequências absolutas, respectivamente iguais a n1 , n2 , n3 , …, nk . A média aritmética (x) desses valores é igual à soma de cada um dos valores assumidos pela variável, multiplicada pela sua frequência, e dividida pela soma das frequências,

A média aritmética é muito influenciada por valores discrepantes (“outliers”).

MEDIANA

Seja x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ … ≤ xn os valores ordenados assumidos pela variável quantitativa x. A mediana (Me) é dada por:

Dessa forma, a mediana é tal que a quantidade de valores menores ou iguais à mediana é igual à quantidade de valores maiores ou iguais à mediana.

A mediana é uma medida de centralidade menos sensível a valores discrepantes.

Exemplo:

MODA

A moda de um conjunto é o valor que ocorre mais vezes ou de maior frequência simples (absoluta ou relativa) numa distribuição de frequências.

No nosso exemplo, a moda é igual a 14.

A moda pode também não existir ou não ser única.

Exemplo:

0, 1, 1, 2, 2, 3 têm modas 1 e 2 (bimodal).

MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO

Considere uma turma de 5 alunos em que todos tiraram nota 5, e outra, com a mesma quantidade de alunos, com as seguintes notas: 1, 3, 5, 7 e 9. Essas duas turmas têm a mesma média aritmética e a mesma mediana que é 5. Mas, a dispersão dos valores é completamente diferente e pode ser calculada.

DESVIO MÉDIO ABSOLUTO (DMA)

O desvio, em relação à média aritmética, é a diferença entre cada valor e a média aritmética.

PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA

Se adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, a variância não se altera.
Se multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, a variância fica multiplicada pelo quadrado desse valor.

Se a variância for calculada sobre uma amostra em vez de ser sobre toda a população, teremos então a chamada variância amostral que:

Se os dados forem agrupados em intervalos de classe, então o quadrado de cada desvio deve ser multiplicado pela sua frequência absoluta (ni ) ou relativa (fi ).

PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO

Se adicionarmos um mesmo valor a cada um dos valores assumidos pela variável, o desvio padrão não se altera.
Se multiplicarmos cada um dos valores assumidos pela variável por um mesmo valor, o desvio padrão fica multiplicado por esse valor.

Se os valores se distribuem de acordo com uma distribuição normal, (unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio) podemos dizer que:

• 68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
• 95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
• 99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.
Esta informação é conhecida como a regra dos “68-95-99,7”.

PROBABILIDADE

É conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza em afirmações, tais como “É possível que chova amanhã” ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma escala numérica que varie do impossível ao certo.

O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações em que os resultados são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização. Por exemplo:

• As declarações de despesas por funcionário de uma empresa podem assumir uma variedade de valores;
• A audiência estimada de um comercial de TV com 30 segundos de duração não é a mesma para cada exibição.

Probabilidade pode ser de nida como teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômeno de caráter aleatório.

FENÔMENO ALEATÓRIO

Fenômeno – qualquer acontecimento natural.
Os fenômenos podem ser classificados, quanto aos seus possíveis resultados, em dois tipos: Determinísticos ou Aleatórios.

– Fenômenos Determinísticos – são aqueles que, repetidos sob mesmas condições iniciais, conduzem
sempre a um só resultado.

– Fenômenos Aleatórios – são aqueles que, repetidos sob as mesmas condições iniciais, podem conduzir a mais
de um resultado.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Experimento – processo que gera resultados bem definidos.

São fenômenos aleatórios os que possuem as seguintes características:

• Repetitividade – pode ser repetido quantas vezes quisermos;
• Regularidade – diz respeito à possibilidade da ocorrência dos resultados do fenômeno.
Exemplo de experimentos aleatórios e seus respectivos resultados experimentais:

ESPAÇO AMOSTRAL

O espaço amostral de um experimento, denotado por Ω, é o conjunto de todos os resultados experimentais.
Exemplos:

1. Jogar uma moeda.
Ω = {Cara – Coroa}
2. Selecionar uma peça para inspeção.
Ω = {Defeituosa – Não defeituosa}
3. Lançar um dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

MÉTODOS DE ATRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Através das frequências de ocorrências (método de frequência relativa).

Observamos o experimento aleatório n vezes e determinamos a frequência relativa com que cada resultado ocorre.
Número de vezes em que o evento ocorreu Número total de repetições do experimento Obs.: Este método é apropriado quando se tem dados disponíveis para estimar a proporção do tempo em que o resultado experimental
ocorrerá se o experimento for repetidos inúmeras vezes.

Através de suposições teóricas (método clássico).

Número de casos favoráveis ao evento
Número de casos possíveis

Obs.: Apropriado quando todos os resultados experimentais são igualmente prováveis.

EVENTO

Subconjunto do espaço amostral do experimento.

Notação: A, B, C, … ∅ (conjunto vazio): evento impossível. Ω: evento certo.

Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6} ⇒ ⊂ Ω.
B: Sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} ⇒ ⊂ Ω.
C: Sair face 1 C = {1} ⇒ ⊂ Ω.

OPERAÇÕES COM EVENTOS INTERSEÇÃO

O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos.
Notação: A ∩ B

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes, quando a ocorrência de um deles
impossibilita a ocorrência do outro.

Exprime-se este fato escrevendo-se A ∩ B = ∅.

UNIÃO

O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, de B, ou de ambas.
Notação: A ∪ B.

COMPLEMENTAR

A negação do evento A, denotado por A, é chamado de evento complementar de A.

A e A são complementares se sua intersecção for vazia e sua união for o espaço amostral, isto é,
A AO ∩ = / e A A ∪ =Ω.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

É uma função que atribui um número aos eventos que pertencem  ao espaço amostral (se A é um evento de Ω, P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz às seguintes condições:

0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ⊂ Ω;
P(Ω) = 1;

Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

TEOREMAS FUNDAMENTAIS

P(∅) = 0;
P(A) 1 P(A) = − ;
Se A ⊂ B, P(A) ≤ P(B);
Regra da soma: Se A e B são eventos quaisquer de Ω, então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

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