Função – Conceitos

PAR ORDENADO E PLANO CARTESIANO

O conceito de par ordenado, denotado por (a,b), é um conceito primitivo sendo um conjunto de dois elementos ordenados.
Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, as suas duas coordenadas são iguais.

Os pares ordenados podem ser representados graficamente em um plano cartesiano ortogonal, onde o primeiro elemento do par ordenado é representado no eixo horizontal Ox (eixo das abscissas) e o segundo elemento do par ordenado é representado no eixo vertical Oy (eixo das ordenadas). Isso pode ser observado na gura a seguir:

PRODUTO CARTESIANO

RELAÇÃO

Uma relação R de A em B é qualquer subconjunto de A × B. Quando R é uma relação de A em A, diz-se apenas que R é uma relação em A.
Numa relação de A em B, A é chamado conjunto de partida e B, conjunto de chegada. O conjunto de todas as primeiras
coordenadas que pertencem a R é chamado domínio e o conjunto de todas as segundas coordenadas que pertencem a R é chamado imagem, ou seja, o domínio e a imagem são formados por elementos que efetivamente estão em algum par ordenado da relação.

FUNÇÃO

 

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B. Entretanto pode existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A ou que esteja associado a mais de um elemento de A.

Os dois diagramas seguintes representam relações de A em B, mas não funções de A em B. O primeiro porque existe um elemento de A que não está associado a nenhum elemento de B e o segundo porque existe um elemento de A que está associado a mais de um elemento de B.

 

A análise do diagrama de flechas permite concluir que: f(a) = d, f(b) = d e f(c) = e.
O conjunto A é o domínio da função f e os seus elementos são os primeiros termos dos pares ordenados que constituem a função e a origem das flechas no diagrama.

O conjunto B é o contradomínio de f e os seus elementos são os segundos termos dos pares ordenados do produto cartesiano e os possíveis destinos das flechas.
O conjunto imagem é um subconjunto de B formado pelos elementos que são segundos termos dos pares ordenados da função ou o conjunto dos elementos que são efetivamente destino de flechas.

No diagrama anterior se deve observar que deve partir exatamente uma flecha de todo elemento do conjunto A. Já os elementos do conjunto B podem receber uma ou mais flechas ou até não receber nenhuma flecha.
Assim, o fato de d ∈ B ser imagem de dois elementos a e b de A não é empecilho para que f seja uma função de A em B.

Chamam-se funções reais de variável real, aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais, ou seja, os pares ordenados (x,y) ∈ R2.
Nesse caso, costuma-se por comodidade definir a função apenas pela “regra de correspondência” e adota-se como domínio o maior subconjunto possível de R.

Zero ou raiz da função f é o número x ∈ D(f), cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. Esses pontos são os pontos onde o gráfico da função f intersecta o eixo das abscissas (Ox).
É possível também identificar o sinal da função em cada trecho do domínio. Os pontos de imagem positiva encontram-se acima do eixo das abscissas (parte positiva do eixo das ordenadas) e os de imagem negativa abaixo (parte negativa do eixo das ordenadas).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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