GEOMETRIA ESPACIAL I

PIRÂMIDE REGULAR

Uma pirâmide é dita regular se sua base for um polígono regular e se o pé de sua altura estiver sobre o centro da base.

PROPRIEDADES DE UMA PIRÂMIDE REGULAR

1- As arestas laterais são iguais;

2- As faces laterais são congruentes;

3- As arestas laterais formam ângulos iguais com o plano da base;

4- As faces laterais formam ângulos iguais com o plano da base e
também com a altura.

5- As alturas das faces laterais (apótemas da pirâmide) são
congruentes.

6- A projeção ortogonal do apótema da pirâmide sobre o plano da
base é o apótema da base.

7- A projeção ortogonal da aresta lateral sobre o plano da base é o
raio do círculo circunscrito à base.

Elementos
VM = apótema da pirâmide= m
PM = apótema da base=r

VP = altura da pirâmide=h
PD = raio do círculo circunscrito à base=R
VD = aresta lateral da pirâmide=a

Relações fundamentais

Algumas pirâmides não regulares, que não têm como base polígonos regulares, apresentam propriedades similares aos das pirâmides regulares, são as que possuem polígonos inscritíveis em um círculo e cuja a projeção ortogonal do vértice da pirâmide é o centro desse círculo.

a) As arestas laterais são todas congruentes.

b) As faces laterais são triângulos isósceles, mas não todos
congruentes entre si.

c) As arestas laterais formam ângulos iguais com o plano da base.

d) A projeção ortogonal da aresta lateral é igual ao raio do círculo
circunscrito à base.

Na figura abaixo V-ABCD é uma pirâmide de base retangular.

VOLUME

Todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares equivalentes.

Consideremos um prisma triangular qualquer, de bases ABC e DEF.

Seccionando o prisma pelo plano (EAB), obtemos a pirâmide triangular E-ABC, que tem bases e altura iguais ao do prisma. Retirada esta primeira pirâmide, restará o sólido EABDF.

Consideramos o plano (DEF) que divide o sólido em duas pirâmides equivalentes, E-BDF e E-ABD, pois tem a mesma altura e bases congruentes, os triângulos ABD e DEF que são metades do paralelogramo ABDF.

Portanto todo prisma triangular pode ser decomposto em três pirâmides triangulares equivalentes. Daí concluímos que o seu volume é dado pela fórmula:

A partir deste teorema é possível demonstrar que o volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura- para justificar tal fato basta observar que qualquer pirâmide pode ser dividida em pirâmides de base triangular. Esta divisão é feita dividindo-se a base da pirâmide por triângulos justapostos por meio de diagonais e de nindo cada plano de divisão da pirâmide por uma dessas diagonais da base e pelo vértice da pirâmide.

Corolário: Seja P uma pirâmide de área da base B e altura h então o volume da pirâmide é dado pela fórmula:

Exemplo:

Uma pirâmide hexagonal dividida em quatro pirâmides triangulares.

SÓLIDOS SEMELHANTES

Dois sólidos são semelhantes quando suas faces são respectivamente semelhantes e seus ângulos sólidos são respectivamente iguais.

Quando seccionamos uma pirâmide por um plano paralelo ao de sua base, uma outra pirâmide semelhante à primeira é formada.

Uma seção transversal divide a pirâmide em duas partes: a que contém o vértice é uma pirâmide semelhante à original e a outra parte é chamada tronco de pirâmide de bases paralelas.

Se a pirâmide possui altura h e a seção está a uma distância h’ do vértice, a semelhança das duas pirâmides implica as seguintes relações:

As relações são válidas para pirâmides n-gonais, isto é a base pode ser um polígono de n lados.

A obtenção das características da pirâmide menor possibilita encontrar as características do tronco de pirâmide.

TRONCO DE PIRÂMIDE BASES PARALELAS

Tronco de pirâmide de bases paralelas é o sólido limitado pela superfície de um ângulo poliédrico e situado entre duas seções planas e paralelas deste ângulo.

Podemos defini-lo também como o sólido obtido de uma pirâmide, sendo a porção de pirâmide compreendida entre a base e um plano que secciona a pirâmide em todas as arestas laterais, tendo por bases: a seção de interseção e a base da pirâmide.

Os troncos de pirâmides podem ser de primeira ou de segunda espécie.

Primeira espécie: todas as faces laterais são trapézios e as bases são polígonos semelhantes.

Segunda espécie: O tronco de pirâmide de segunda espécie é formado por duas pirâmides semelhantes e homotéticas em relação ao vértice V.

VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASE PARALELA DE PRIMEIRA ESPÉCIE

Sejam:

Calculando o volume do tronco como a diferença entre os volumes das pirâmides:

Quando as bases são polígonos regulares, temos um tronco de pirâmide regular, no qual é possível encontrar uma fórmula fechadapara a área lateral e para área total.

Sejam:

TRONCO DE PRISMA

Tronco de prisma pode ser definido como cada um dos sólidos obtidos, quando um prisma é seccionado por um plano não paralelo às bases e que corte todas as suas arestas laterais.

VOLUME DO PRISMA TRIANGULAR

a, b, c → arestas laterais do tronco

S → seção reta do prisma

Para calcular o volume de troncos de outras naturezas, basta dividi-los em troncos de prismas triangulares.

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