GEOMETRIA ESPACIAL II

CILINDRO

DEFINIÇÃO

Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g (geratriz) de direção constante que se move apoiada numa linha fixa (diretriz), portanto a natureza de uma superfície cilíndrica depende da sua diretriz. Existem superfícies cilíndricas circulares, elíticas, parabólicas, etc. A superfície será aberta se a sua diretriz for aberta, fechada, se sua diretriz for fechada.

Superfície cilíndrica de revolução é a superfície gerada pela rotação de uma reta g (geratriz) ao redor de uma reta fixa paralela OO’ (eixo). A distância constante entre g e OO’ é o raio.

Cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por dois planos paralelos entre si que intersectam todas as geratrizes da superfície e produzem duas seções planas paralelas. Essas seções são denominadas bases do cilindro e a distância entre elas é a sua altura.

Seção reta do cilindro é a seção reta da superfície cilíndrica que o limita.

Um cilindro é reto ou oblíquo conforme suas geratrizes sejam perpendiculares ou oblíquas aos planos de suas bases e são denominados circulares se suas bases forem circulares.

No cilindro reto a geratriz é igual à altura. No cilindro oblíquo a geratriz é diferente da sua altura.

O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois é o sólido gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um de seus lados.

Seção meridiana de um cilindro circular (quadrilátero ABCD) são as seções produzidas por planos que contém o eixo OO’ do cilindro.

A seção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e do cilindro reto é um retângulo.

Cilindro equilátero é o cilindro circular reto no qual seção meridiana é um quadrado.

ÁREA E VOLUME

Planificando o cilindro circular reto obtemos:

O desenvolvimento da superfície lateral de um cilindro é um retângulo de base igual a 2⋅π⋅r, que é o comprimento da base do cilindro, e a altura h. Daí a sua área lateral é igual a A1 = 2π⋅r⋅h.

E a sua área total é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.

VOLUME DO CILINDRO CIRCULAR

O volume de um cilindro circular reto pode ser considerado como o limite do volume de um prisma regular inscrito no cilindro, quando o número de faces laterais cresce indefinidamente. Portanto, o volume do cilindro circular reto é igual a:

Para o cilindro oblíquo vale raciocínio análogo e a fórmula é a mesma.

TRONCO DE CILINDRO

Tronco de cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica e duas seções não paralelas secantes às geratrizes.

TEOREMA

A seção produzida numa superfície cilíndrica de revolução por um plano obliquo às suas geratrizes é uma elipse.

Dado um tronco de cilindro circular de raio r e sendo d a distância entre os centros das seções, é possível obter um cilindro circular reto equivalente e de mesma área lateral com raio r e altura d.

A medida d é a base média do trapézio da seção meridiana.

As seções que constituem as bases de um tronco de cilindro circular são elipses. A área das seções pode ser calculada através da fórmula da área da elipse de eixo maior 2a e eixo menor 2b: Selipse = π⋅a⋅b.

CONE

DEFINIÇÃO

Superfície cônica é a superfície gerada por uma reta, geratriz, que se desloca passando por um ponto fixo chamada de vértice, apoiando-se por sobre uma curva, chamada de diretriz.

Cone é o sólido limitado por uma superfície cônica fechada e por um plano que não contém o vértice e intersecta todas as geratrizes da superfície. A seção produzida pelo plano é a base, e a distância do vértice à base é a altura do cone. O cone será circular, elítico, ou de um outro formato de acordo com a natureza da sua base. Estudaremos os cones circulares que podem também serem definidos da seguinte forma: considere um círculo R contido num plano α, e V um ponto que não está em α. O conjunto de todos os segmentos de reta que unem o os pontos de R ao ponto B formam um cone circular.

A reta que passa pelos pontos A e V, centro da base e o vértice é chamada de eixo do cone.

No caso em o segmento AV é perpendicular à base, o cone é circular reto, caso contrário será oblíquo.

CONE CIRCULAR RETO OU CONE DE REVOLUÇÃO

No cone circular reto o segmento que une os pontos A e V é chamado de altura e o segmento que une os pontos B e V é chamado de geratriz, V é o vértice do cone e o círculo R é a base do cone, a distância de A até B é o raio da base.

No cone circular reto vale a seguinte relação

DEFINIÇÃO

O cone circular reto é criado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos. Este é o motivo pelo qual a superfície de um cone recebe o nome de superfície de revolução.

SEÇÃO MERIDIANA

Interseção do cone com um plano que contém a reta que liga o vértice ao centro da base.

Na figura abaixo o triângulo VBC é a seção meridiana.

No cone oblíquo a seção meridiana é um triângulo escaleno. No cone reto a seção meridiana é um triângulo isósceles.

CONE EQUILÁTERO

ÁREA LATERAL (CONE CIRCULAR RETO)

O desenvolvimento da superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de raio g e comprimento igual ao da circunferência da base do cone, 2πR.

ÁREA TOTAL (CONE CIRCULAR RETO)

É a soma da área lateral com a área da base.

VOLUME

O volume do cone circular reto é igual ao limite do volume da pirâmide regular inscrita, quando o número de faces laterais cresce indefinidamente. Portanto o volume do cone é igual ao produto de um terço da área da base pela altura.

(A fórmula também é válida para um cone circular oblíquo)

TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS

A rotação completa do trapézio retângulo, em A e B’ , em torno do eixo, gera o sólido conhecido como tronco de cone de primeira espécie.

Com a demonstração análoga a utilizada no cálculo do volume do tronco de pirâmide.

ESFERA

CÍRCULOS DE UMA ESFERA

TEOREMA

A seção de uma esfera por um plano é um círculo.

R = raio da esfera;
r = raio do círculo secção (círculo menor);
d = distância do plano secante ao centro da esfera;

POLOS E DISTÂNCIA POLAR – NOTAÇÕES

ÁREA GERADA PELO SEGMENTO DE RETA

A área da superfície gerada por um segmento de reta, quando efetua uma volta completa em torno de um eixo situada no seu plano e não o atravessando é igual ao produto da sua projeção ortogonal sobre o eixo pela circunferência cujo raio é a parte da mediatriz do segmento gerador, compreendida entre este e o eixo. (I, II, III e IV)

Há três posições diferentes (I, II, III)
Área gerada pelo segmento de reta AB 2 OM h 2 m h =π ⋅=π
Área gerada pela linha poligonal regular (A CD B ) =π ⋅ 2 OM h
m = OM = apótema da poligonal (IV)

ÁREA DAS PARTES DA ESFERA

R = raio da esfera;
D = diâmetro da esfera;
h = altura da zona;
AB = corda arco gerador da calota.

VOLUME GERADO POR UM TRIÂNGULO

O volume gerado por um triângulo que gira em torno de um eixo situado no seu plano, sem o atravessar e passando por um de seus vértices é igual ao produto da área gerada pelo lado oposto ao vértice sobre o eixo por um terço da altura correspondente e esse lado (I, II, III).

Devemos considerar três distintas:

VOLUME GERADO POR UM SETOR POLIGONAL REGULAR

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