Números racionais

INTRODUÇÃO

Quando dividimos um objeto em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias delas forma uma fração desse objeto. Assim, uma fração (número racional) é um número da forma 5 8 , em que p é o chamado numerador e q é o chamado denominador. Veja que q representa o total de partes em que o objeto foi dividido e p o
número de partes consideradas. O conjunto de todas as frações é o chamado conjunto dos números racionais ().

Observação

Em uma fração, o denominador é SEMPRE diferente de zero.

Exemplo:
Se pedirmos uma pizza que vem cortada em 8 pedaços e eu comer
5 pedaços, terei comido 5
8 da pizza.

CLASSIFICAÇÕES DAS FRAÇÕES FRAÇÃO PRÓPRIA

É aquela em que o numerador é menor que o denominador.

Exemplos:
1 3 11 , ,
3 8 23

FRAÇÃO IMPRÓPRIA

É aquela em que o numerador é maior que o denominador.

Exemplos:

4 13 32 , ,
3 8 23

FRAÇÃO APARENTE

É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador. Na verdade, tal fração é um número inteiro.

Exemplos:
5 14 55 , ,
12 5

FRAÇÃO IRREDUTÍVEL

É aquela em que o numerador e o denominador não possuem nenhum fator em comum, são ditos números primos entre si.

Exemplos:
5 3 12 , ,
4 11 31

FRAÇÃO DECIMAL

É aquela em que o denominador é uma potência de 10 (10, 100, 1000, …)

Exemplos:
3 7 , 10 100

FRAÇÃO ORDINÁRIA

É aquela em que o denominador não é uma potência de 10, ou seja, uma fração que não é decimal.

Exemplos:
3 7,
5 20

FRAÇÕES EQUIVALENTES

São frações que possuem o mesmo valor.

Exemplo:
2
4 e 4 8 são frações equivalentes, pois ambas correspondem a a b .

ProBizu Duas frações a b e c d são equivalentes quando ad = bc.

Observação

A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes a ela.

NÚMERO MISTO

Um número misto é uma representação alternativa para uma fração imprópria. Por exemplo, 13 3 pode ser representado neste formato ou ainda como 1 43 (4 inteiros e 1 terço).

REDUÇÃO DE FRAÇÕES A UM DENOMINADOR COMUM

O procedimento que veremos a seguir será muito útil para comparar frações e também para fazer operações entre elas (como somar duas frações). Fique atento no seguinte passo a passo para colocar um conjunto de frações com o mesmo denominador:

I. Colocar as frações na sua forma irredutível;
II. Calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores;
III. Dividir o mmc obtido por cada um dos denominadores;
IV. Multiplicar os quocientes obtidos pelos dois termos da fração correspondente.

Para ficar mais claro, vejamos um exemplo.

Exemplo:

Reduzir as frações 5 18 ,
7 33
ao mesmo denominador:

Passo (I): 5 6,
7 11
Passo (II): m.m.c (7, 11) = 77
Passo (III): 77:7 = 11; 77:11 = 7
Passo (IV): 5 11 55
7 11 77
⋅ = ⋅ e 6 7 42
11 7 77
⋅ = ⋅

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

Temos três possibilidades para comparar frações, que são:

FRAÇÕES COM O MESMO DENOMINADOR

A maior fração é aquela que possui o maior numerador.

Exemplo:
10 8
11 11 > , pois as frações possuem o denominador comum 11 e 10 > 8.

FRAÇÕES COM O MESMO NUMERADOR

A maior fração é aquela que possui o menor denominador.
Exemplo:
5 5
7 12 > , pois as frações possuem o numerador comum 5 e 7 < 12.

FRAÇÕES COM NUMERADORES E DENOMINADORES DIFERENTES

As frações são reduzidas ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador (o que for mais conveniente) e procede-se como no caso 1 ou como no caso 2.

Exemplo:
1) Comparar 5 6 e 7 11 .
Reduzindo ao mesmo denominador, temos 55 42 e 77 77 . Como o numerador da primeira é maior que o da segunda e ambas tem o mesmo denominador, temos que 5 6 7 11 > .

2) Comparar 4
207 e 4
207 .

Nesse caso, como os denominadores são grandes, vale mais a pena reduzir as duas frações ao mesmo numerador.
Temos que 5 5 4 20 211 211 4 844 ⋅ = = ⋅ e que 4 4 5 20 207 207 5 1035 ⋅ = = ⋅ .

Como 1035 > 844 e as frações possuem o mesmo numerador, temos que a primeira fração é a maior. Assim, 5 4
211 207 > .

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Para efetuar essas operações, devemos reduzir as frações a um denominador comum. Feito isso, basta somar ou subtrair os numeradores.
Exemplo:
1 2 1 6 8 3 11
2 3 4 12 12 12 12

MULTIPLICAÇÃO

Basta multiplicar os numeradores e os denominadores.
Exemplo:
2 5 (2 5) 10
3 7 (3 7) 21
⋅ ⋅= = ⋅
DIVISÃO

Basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplo:
3 6 3 11 11 : 4 11 4 6 8 =⋅ =

NÚMEROS DECIMAIS

É o número que possui uma parte inteira e uma parte decimal (escrita após a vírgula ou ponto, que são os sinais demarcadores da parte inteira e decimal). Um número decimal pode ter representação infinita, representação infinita periódica ou representação in nita não periódica.

Nos dois primeiros casos, estaremos lidando com números racionais, enquanto no último caso temos um número irracional. O melhor jeito de lidar com números decimais é escrevendo-os na forma de fração, seguindo o seguinte método.

Quando a representação for nita, é fácil converter o número para fração, por exemplo, 123 0,123 1000 = . Quando a representação for in nita periódica, teremos um pouco mais de trabalho, como veremos a seguir.

ProBizu
Todo número racional é um número decimal com representação nita ou infinita periódica.

DÍZIMAS PERIÓDICAS

São os números decimais cujos algarismos após a vírgula seguem um padrão de repetição a partir de algum momento.
Exemplos:
0,2222… e 0,12345454545…
Em uma dízima periódica, o conjunto de algarismos que se repete infinitamente é chamado de período da dízima.

CLASSIFICAÇÃO DAS DÍZIMAS DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES

Aquelas em que o período se apresenta imediatamente após a vírgula.

Exemplos:
7 8 0,777… 0,7; 2,666… 2,6 9 3 = = = =

DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS

Aquelas em que, entre o período e a vírgula, existe uma parte não periódica.

Exemplo:

14 0,9333… 0,93 15 = = é uma dízima composta com parte não
periódica igual a 9 e período igual a 3.

Observação
A barra em cima do número após a vírgula indica que aquele é o período da dízima.

A seguir, veremos como transformar uma dízima em sua fração equivalente (chamada de fração geratriz).

CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES

O numerador é a parte inteira seguida da parte periódica subtraída da parte inteira. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:
35 3 32 3,555… 9 9
1528 15 1513 15,282828… 99 99
− = =
− = =

DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS

O numerador é a parte inteira seguida da parte não periódica e da parte periódica, subtraindo-se a parte inteira seguida da não periódica. Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:
2715 271 2444 27,1555… 90 90
47621 476 47145 3143 4,76212121… 9900 9900 660
− = =
− = = =

ProBizu

Outra maneira de se encontrar a fração geratriz pode ser exemplificada das seguintes formas:

• Seja x = 15,282828… . A ideia é multiplicar x por 100, obtendo 100x = 1528,282828… Veja agora que os dois números obtidos coincidem após a vírgula.

Subtraindo-os, obtemos 1513 99x 1528 15 1513 x .

99 = − = ⇔=
• Seja agora y = 4,76212121… Multiplicaremos inicialmente y por 100 para eliminar a parte não periódica, obtendo assim 100y = 476,212121… Agora, multipliquemos este último número por 100 e assim 10000y = 47621,212121…
Subtraindo os dois números obtidos, temos que 47145 3143 9900y 47621 476 47145 y . 9900 660 = − = ⇔= =

MÉTODO PARA DETERMINAR SE UMA FRAÇÃO É DÍZIMA OU DECIMAL EXATO

Considerando a fatoração em números primos do denominador de uma fração irredutível, temos:

Apenas fatores 2 e 5

A fração é um decimal exato 3
7 7 0,175 40 2 5 = = ⋅

Apenas fatores diferentes de 2 e 5

A fração é uma dízima periódica simples 1 0,047619 21 =

Fatores diferentes de 2 e 5 com fatores 2 ou 5

A fração é uma dízima periódica composta 1 0,045

MULTIPLICAÇÃO

Basta multiplicar os numeradores e os denominadores.

Exemplo:
2 5 (2 5) 10
3 7 (3 7) 21
⋅ ⋅= = ⋅

DIVISÃO

Basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo:
3 6 3 11 11 : 4 11 4 6 8 =⋅ =

NÚMEROS DECIMAIS

É o número que possui uma parte inteira e uma parte decimal (escrita após a vírgula ou ponto, que são os sinais demarcadores da parte inteira e decimal). Um número decimal pode ter representação infinita, representação infinita periódica ou representação in nita não periódica.

Nos dois primeiros casos, estaremos lidando com números racionais, enquanto no último caso temos um número irracional. O melhor jeito de lidar com números decimais é escrevendo-os na forma de fração, seguindo o seguinte método.

Quando a representação for nita, é fácil converter o número para fração, por exemplo, 123 0,123 1000 = . Quando a representação for in nita periódica, teremos um pouco mais de trabalho, como veremos a seguir.

ProBizu

Todo número racional é um número decimal com representação nita ou in nita periódica.

DÍZIMAS PERIÓDICAS

São os números decimais cujos algarismos após a vírgula seguem um padrão de repetição a partir de algum momento.
Exemplos:
0,2222… e 0,12345454545…

Em uma dízima periódica, o conjunto de algarismos que se repete infinitamente é chamado de período da dízima.

CLASSIFICAÇÃO DAS DÍZIMAS DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES

Aquelas em que o período se apresenta imediatamente após a vírgula.

Exemplos:
7 8 0,777… 0,7; 2,666… 2,6 9 3 = = = =

DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS

Aquelas em que, entre o período e a vírgula, existe uma parte não periódica.

Exemplo:
14 0,9333… 0,93 15 = = é uma dízima composta com parte não periódica igual a 9 e período igual a 3.

Observação

A barra em cima do número após a vírgula indica que aquele é o período da dízima.

A seguir, veremos como transformar uma dízima em sua fração equivalente (chamada de fração geratriz).

CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES

O numerador é a parte inteira seguida da parte periódica subtraída da parte inteira.

Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
35 3 32 3,555… 9 9
1528 15 1513 15,282828… 99 99
− = =
− = =

DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS

O numerador é a parte inteira seguida da parte não periódica e da parte periódica, subtraindo-se a parte inteira seguida da não periódica.

Enquanto isso, o denominador é um número formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
2715 271 2444 27,1555… 90 90
47621 476 47145 3143 4,76212121… 9900 9900 660
− = =
− = = =

ProBizu

Outra maneira de se encontrar a fração geratriz pode ser exemplificada das seguintes formas:

• Seja x = 15,282828… . A ideia é multiplicar x por 100, obtendo
100x = 1528,282828… Veja agora que os dois números
obtidos coincidem após a vírgula.
Subtraindo-os, obtemos 1513 99x 1528 15 1513 x .
99 = − = ⇔=

• Seja agora y = 4,76212121… Multiplicaremos inicialmente y por 100 para eliminar a parte não periódica, obtendo assim 100y = 476,212121… Agora, multipliquemos este último número por 100 e assim 10000y = 47621,212121…
Subtraindo os dois números obtidos, temos que 47145 3143 9900y 47621 476 47145 y . 9900 660 = − = ⇔= =

MÉTODO PARA DETERMINAR SE UMA FRAÇÃO É DÍZIMA OU DECIMAL EXATO

Considerando a fatoração em números primos do denominador de uma fração irredutível, temos:

Apenas fatores
2 e 5

A fração é um
decimal exato 3
7 7 0,175 40 2 5 = = ⋅

Apenas fatores diferentes de 2 e 5

A fração é uma dízima periódica simples 1 0,047619 21 = Fatores diferentes de 2 e 5 com fatores 2 ou 5

A fração é uma dízima periódica composta 1 0,045

Observação

É possível dizer quantos algarismos haverá após a vírgula se o denominador da fração irredutível apresentar apenas fatores 2 e 5. Com efeito, se a fração é da forma m 2 5 α β ⋅ , então o número de algarismos após a vírgula será o maior número dentre α β, .

No exemplo da tabela, temos 3 7 7 0,175 40 2 5 = = ⋅ . Como 3 > 1, teremos que o número de algarismos após a vírgula é 3, o que de fato é veri cado após a divisão.

Por outro lado, é um problema bastante difícil prever o número de algarismos do período de uma dízima simples a partir da fatoração em primos do denominador.

Exercício Resolvido 01. A fração 204

595 é equivalente à fração irredutível X Y . Logo, Y – X é igual a:

a) 51. d) 29.
b) 47. e) 23.
c) 45.
Resolução: E

Fatorando o numerador e o denominador da fração, temos:

204 = 22 ⋅ 3 ⋅ 17 e 595 = 5 ⋅ 7 ⋅ 17. Cancelando os fatores comuns, temos que 2 204 2 3 12 95 5 7 35 ⋅ = = ⋅ , que é irredutível, pois 12 e 35 são primos entre si. Logo X = 12 e Y = 35, o que nos dá Y – X = 23.

Exercício Resolvido
02. Calcule o valor da seguinte expressão:
1 2 3,4222… 2,555… 7 2 3 9 + ÷× −

Resolução:
Colocaremos primeiro as dízimas em suas frações geratrizes e converteremos o número misto em fração:
342 34 308 154 3,4222 90 90 4525 2 23 2,555 9 9 2 2 9 2 20 2 99 9 − = = = − = =× + = =   Assim, a expressão pedida é:
154 23 1 20 7
45 9 3 9
154 23 1 20
45 63 3 9
154 23 20
45 189 9
3234 115 2100 1249
945 945

Exercício Resolvido
03. Sobre o número 1937

8192 podemos afirmar que é:

a) uma dízima periódica simples.
b) uma dízima periódica composta.
c) um decimal exato com 12 casas decimais.
d) um decimal exato com 13 casas decimais.
e) um decimal exato com 14 casas decimais.
Resolução: D
Veja que 8192 = 213. Logo 13 13
13 13 13 13
1937 1937 1937 5 1937 5
8192 2 2 5 10
⋅ ⋅ = = = ⋅ .
Com isso, como o numerador será dividido por 1013, devemos deslocar a vírgula 13 unidades para a esquerda, o que nos dá um decimal exato com 13 casas decimais.

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