Planos e Retas no R3

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Um plano é determinado por 3 pontos não colineares.

 

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO

 

 

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

EQUAÇÕES CANÔNICAS OU SIMÉTRICAS

 

EQUAÇÕES DA RETA DETERMINADA POR DOIS PONTOS DISTINTOS

ÂNGULO ENTRE RETAS

POSIÇÕES RELATIVAS DE 2 PLANOS

PLANOS PARALELOS

PLANOS CONCORRENTES

 

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

O ângulo de 2 planos é o ângulo das retas normais a estes planos, traçadas de um ponto qualquer do espaço.

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

 

SUPERFÍCIE ESFÉRICA

NOÇÕES DE QUÁDRICAS

INTRODUÇÃO

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

Superfície de revolução é a superfície gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360° em torno de uma reta (eixo) situada no plano da curva.

ESFERA

 

ELIPSOIDES

Tendo uma elipse em algum dos planos xy, xz ou yz e girarmos essa elipse em torno de algum dos eixos cartesianos obtemos o elipsoide de revolução.

HIPERBOLOIDE

Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser de nida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide
também possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares de simetria emparelhados.

HIPERBOLOIDE DE 1 FOLHA

Os hiperboloides de revolução serão obtidos por rotações em torno de um dos seus eixos.

 

HIPERBOLOIDE DE 2 FOLHAS

PARABOLOIDE

Existem dois tipos de paraboloides: elíptico e hiperbólico. O paraboloide elíptico possui um formato semelhante a uma taça e pode possuir um ponto máximo ou mínimo. O paraboloide hiperbólico possui um formato semelhante a uma sela e pode possuir um ponto crítico chamado de ponto de sela. Esta é uma superfície com regras duplas.

PARABOLOIDE ELÍPTICO

 

 

 

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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