Problemas com números racionais

QUESTÕES DE TORNEIRA E PROBLEMAS COM FRAÇÕES

Não existe um método padrão para resolução de problemas, cada um deles apresenta uma solução própria e a melhor maneira de aprender é exercitando. Então acompanhe os próximos exercícios resolvidos aqui na apostila, também em vídeos, e procure outras ideias ou formas de fazer; sempre aplique a prova real, pois assim estará expandindo seu raciocínio lógico. E lembre-se também que exercícios muitas vezes apresentam ideias repetidas, por isso a resolução de um exercício servirá de base para outros exercícios.

Para resolvermos um exercício no estilo de problema, devemos primeiro ler e entendê-lo como um todo. Na segunda etapa, devemos separá-lo em partes e resolvê-las de modo a facilitar sua resolução.

Num terceiro momento, devemos unir essas pequenas partes resolvidas e resolver o todo. Por m, vale conferir se a resposta está correta.

As ideias para a resolução de exercícios com números racionais são as mesmas para questões de equações diofantinas, do 1o grau, do 2o graus, sistemas lineares e raciocínio matemático em geral. Vamos lá!

Exercício Resolvido

01. Uma torneira enche um tanque em 2 horas e um ralo esvazia o mesmo tanque em 3 h. Estando a torneira e o ralo simultaneamente abertos, qual será o tempo necessário para encher o reservatório?

Resolução:

Este é um exercício clássico, conhecido como problema de torneiras.

Sendo V o volume do tanque, a torneira possui uma vazão (quantidade de água que entra no tanque por hora) de
V L / h 2 e o ralo possui uma taxa de escoamento de V L / h 3 (quantidade de água que sai do tanque por hora). Assim, a cada hora, a quantidade de água que entra no tanque por hora é V V V L / h 2 3 6 . Sendo t o tempo necessário, em horas, para que o tanque que cheio, teremos que V t V t 6 6 .

Assim, o reservatório cará cheio em 6 horas.

Exercício Resolvido

02. (UNIFOR 2014) Uma torneira T1 enche um tanque de volume V em 6 horas. A torneira T2 enche o mesmo tanque em 8 horas, e a torneira esvazia esse mesmo tanque em 4 horas. Se o tanque está vazio e todas as torneiras foram abertas ao mesmo tempo, o percentual do volume do tanque em 6 horas é de:

a) 25%
b) 30%
c) 45%
d) 60%
e) 65%

Resolução: A

Supondo um tanque com volume total V, calcularemos as vazões de cada torneira. 1 2 3 v v v v ;v e v 6 8 4 , todos em volume/tempo. Ao multiplicarmos a vazão pelo tempo teremos o volume, assim, fazendo o tempo igual a 6 horas, teremos:

1 2 3 V V V 3V 3V 4V 3V 6V V v t v t v t 6 V 25% de V 6 8 4 4 2 4 4 4 4 1 2 3 V V V 3V 3V 4V 3V 6V V v t v t v t 6 V 25% de V 6 8 4 4 2 4 4 4 4

Exercício Resolvido

03. Uma torneira sozinha enche um tanque em 2 horas e outra também sozinha enche o mesmo tanque em 3 horas. Quanto tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque?

Resolução:
Deve-se observar que em 1 hora a primeira torneira sozinha enche 1 2 do tanque e a segunda 1 3 do tanque.

Logo, as duas torneiras juntas, em 1 hora, encherão 1 1 2 3 do tanque. Assim, temos:

11 6 t 1 t 1h12 min 23 5

Exercício Resolvido

04. Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 e 16 dias, respectivamente, trabalhando sós. Com o auxílio de um terceiro, podem fazê-lo em 6 dias. Em quanto tempo o terceiro trabalhador pode fazer o serviço, trabalhando só?

Resolução:
1o trabalhador realiza 1 15 do trabalho em 1 dia.

2o trabalhador realiza 1 16 do trabalho em 1 dia.

3o trabalhador realiza 1 d do trabalho em 1 dia.

Se os três trabalhadores estão trabalhando juntos, temos:
1 11 1 9 2 6 1 d 26 dia 15 16 d d 240 3

05. Uma torneira aberta só enche um tanque em 5 horas e outra, igualmente só, o enche em 6 horas. Por outro lado, um ralo aberto esvazia o mesmo tanque em 10 horas. Estando o tanque, inicialmente, vazio, e abertas as duas torneiras e o ralo, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução:
1a torneira enche 1 5 do tanque em 1 hora.

2a torneira enche 1 6 do tanque em 1 hora.

Ralo esvazia 1 10 do tanque em 1 hora.

Se as duas torneiras e o ralo estão abertos, temos:
1 1 1 30 t 1 t 3 horas 45min 5 6 10 8

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