Sistemas de numeração

SISTEMA DECIMAL

O nosso sistema de numeração chama-se indo-arábico e tem base dez. Isto quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números.

Algarismos da base 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Os números restantes são representados por combinações destes símbolos. Nosso sistema é posicional, de forma que um mesmo algarismo pode ter valores diferentes no número (valor relativo) dependendo da sua posição. O algarismo 0 (zero) tem por finalidade marcar uma posição vazia no número.

Observação
O zero (0) é o único algarismo não significativo.

Desta forma escreve-se 75 para representar 7 x 10 + 5, e 234 para representar 2 x 102 + 3 x 10 + 4.

Em geral, tem-se:

n n1 2 1
n n 1 2 1 0 10 n n 1 2 1 0 (a a a a a ) 10 a 10 a 10 a 10 a a −
− −   = + ++ + + em que a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} i ∈

Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que:

ORDEM E CLASSE

Cada algarismo em um número representa uma ordem e cada três ordens consecutivas formam uma classe. Cada classe completa apresenta um algarismo de unidades, um de dezenas e outro de centenas, nesta ordem. A última classe pode ser incompleta, tendo menos de três ordens.

Exemplo:

Considere o número 18564932.

(932) forma a chamada classe simples.
(564) forma a chamada classe de milhar.
(18) forma a chamada classe de milhão. Note que essa classe possui apenas dois algarismos e, portanto, é incompleta.
A ordem das centenas de milhar é o 6. O 8 é a ordem das unidades de milhão.

Observação
As ordens e classes são contadas da direita para a esquerda.

VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO

O valor absoluto (VA) de um algarismo é o próprio algarismo, e o
valor relativo (VR) de um algarismo depende de seu valor absoluto e
da sua ordem.
Exemplo:
Considere o número 568197. Montemos a seguinte tabela:

ORDEM E CLASSE VA VR

Unidades Simples 7 7
Dezenas Simples 9 90
Centenas Simples 1 100
Unidades de Milhar 8 8000
Dezenas de Milhar 6 60000
Centenas de Milhar 5 500000

OUTRAS BASES DE NUMERAÇÃO

Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que utilizamos o nosso sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos, o que facilitaria o processo de contagem primitivo, tomando os dedos como base.

Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal.No sistema de base 2, os algarismos usados são 0 e 1, enquanto no sistema hexadecimal, os algarismos usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, em que A corresponde ao 10, B ao 11, C ao
12, D ao 13, E ao 14 e F ao 15.

No sistema de base 2, os algarismos utilizados são 0 e 1, e os primeiros números são escritos:
( ) ( ) 1 1 2 10 =
( ) ( ) 10 2 2 = 10
( ) ( ) 11 3 2 = 10
( ) ( ) 100 4 2 = 10
( ) ( ) 101 5 2 10 =
( ) ( ) 110 6 2 10 =
( ) ( ) 111 7 2 10 =
Em geral, quando representamos os números da base 10, omitimos o subíndice.

Observe que, em um sistema de base b, o maior número de um algarismo é (b – 1)b

e o primeiro número de dois algarismos é 10b, que na base 10 é igual a b. Essa ideia deve ser usada quando realizarmos operações em outras bases de numeração para fazer o “vai 1”.

MUDANÇA DE UMA BASE

QUALQUER PARA A BASE 10

Um sistema de numeração de base b se relaciona com a base 10
da seguinte forma:

n n1 2 1
n n1 210b n n1 2 1 0 (a a a a a ) b a b a b a b a a −
− −   = + ++ + +
em que a {0,1,2,3, ,b 1} i ∈ − 
Na expressão acima, podemos notar que, num sistema de base b, são usados b algarismos e o maior algarismo é (b – 1). Por exemplo, o sistema de base 6 possui 6 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Exemplos:
( ) 23 2 6 3 15 6 =×+=
( ) 2 145 1 6 4 6 5 65 6 =× + × + =
( ) 3 2 1011 1 2 0 2 1 2 1 11 2 =× + × +× +=
Caso a quantidade de algarismos exceda 10, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, desta forma os algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, …, em que A equivale a 10 unidades de base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante.

Observação

É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para representar que as mesmas são algarismos que compõem um número.

Por exemplo, para a base 10:
número de 2 algarismos xy 10x y = + número de 3 algarismos xyz 100x 10y z = ++ Este tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.

Exercício Resolvido
01. (ESPCEX 1985) A soma dos dois algarismos de um número é 8 e a diferença entre esse número e o que se obtém, pela inversão da ordem dos mesmos algarismos, é 18. Determine o número.

Resolução:
Seja o número de dois algarismos x e y, N xy = , tem-se:

( ) ( )
( )
xy yx 18 10x y 10y x 18
9 x y 18 x y 2
xy8 x 5 e y 3 N 53 xy2
−= ⇔ +− += ⇔
− = ⇔−=
 + =  ⇔= =⇒=
 − =
Resposta: 53

MUDANÇA DA BASE 10 PARA UMA BASE QUALQUER

Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10. Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10.

Para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b, deve−se dividir o número sucessivamente por b e a sua representação nesta nova base é dada pelos restos assim obtidos tomados na ordem contrária.
Por exemplo: 171 = (10101011)2

Exemplos:
1. Passar 67 para a base 4.
67
16
4
4
4
0 1
0
3

4
Assim, temos que 67 = (1003)4. 2. Passar 123 para a base 5.
123
24
5
5
4 4
3

Assim, temos que 123 = (443)5.

ProBizu
Numa base qualquer n, o menor número de p algarismo(s) é igual ao 1 seguido de ‘‘p – 1” zeros, e o maior é constituído por p algarismo(s) igual(is) a “n – 1”.

Exemplo:

O menor número de 3 algarismos na base 5 de numeração é o número 100 e o maior número de 3 algarismos na base 5 é o número 444.

MUDANÇA ENTRE BASES DIFERENTES DA BASE 10

Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra base também diferente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base.

Exemplo:
Escrever (6165)7

no sistema de base 12.

(6165)7
= 6⋅73 + 1⋅72 + 6⋅7 + 5 = 2154
Fazendo divisões sucessivas:
2154 12
6 179 12
11 14 12
2 1
Temos 2154 = (12B6)12 e, portanto, (6165)7
= (12B6)12.

REPUNITS

Repunits são números formados a partir da repetição de algarismos 1. Assim, o número n”uns”
111 1  é um repunit de n algarismos.

Em diversos problemas envolvendo esse tipo de número é conveniente
representá-los usando potências de 10.
n
n algs. n algs.
1 10 1 111 1 999 9 .
9 9
−   =⋅ = 

Usando a ideia anterior, é possível representar números formados
pela repetição de outros algarismos.

( ) n

n algs. n algs. n algs.
4 4 444 4 4 111 1 999 9 10 1
9 9    =⋅ = ⋅ = ⋅ −

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